cisim (cebir) ne demek?

Cisim, halka ve grup gibi soyut bir cebirsel yapıdır.¹ Kabaca, elemanları arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme (sıfıra bölme hariç) yapılabilen, ve bu işlemlerde sayılardan alışık olduğumuz temel aritmetik kurallarının geçerli olduğu bir küme olarak tanımlanabilir.²

Her cisim bir halkadır, fakat bunun tersi geçerli değildir. Mesela tam sayılar kümesi Z bir halka olduğu halde, içinde bölme yapılamadığı için cisim değildir. Değişmeli bölenler halkasına cisim denir.

Cisimlere örnek olarak, rasyonel sayılar kümesi Q, gerçel sayılar kümesi R ve karmaşık sayılar kümesi C verilebilir. Ayrıca, p bir asal sayı olmak üzere, 0'dan p - 1'e kadar olan tam sayıların kümesi de modüler aritmetik aracılığıyla bir cisim oluşturur. Bu cisim genelde Z/pZ sembolüyle gösterilir.

Tarihçe

Cisim kavramını ilk ortaya atan Richard Dedekind olmuştur. Dedekind, bu yapı için Almancada "cisim" ya da "vücut" anlamına gelen Körper kelimesini kullanmıştır.

Tanımı

F boş olmayan bir küme olsun, ve bu kümenin elemanları arasında + ve ⋅ ile göstereceğimiz iki tane ikili işlem tanımlanmış olsun. (F, +, ⋅) üçlüsü aşağıdaki şartları sağlıyorsa, bu üçlüye cisim adı verilir:

a, b ∈ F ise, a + b = b + a ve a ⋅ b = b ⋅ a.
a, b, c ∈ F ise, a + (b+c) = (a+b) + c ve a ⋅ (b⋅c) = (a⋅b) ⋅ c.
a, b, c ∈ F ise, a ⋅ (b+c) = (a⋅b) + (a⋅c).
F kümesinde 0 adında öyle bir eleman vardır ki, her a ∈ F için a + 0 = a eşitliğini sağlar.
F kümesinde 1 adında, öyle bir eleman vardır ki, 0 'dan farklı her a ∈ F için a ⋅ 1 = a eşitliğini sağlar.
Her a ∈ F için, F kümesinde − a adında öyle bir eleman vardır ki, a + (−a) = 0 eşitliğini sağlar.
Her 0 ≠ a ∈ F için, F kümesinde a<sup>−1</sup> adında öyle bir eleman vardır ki, a ⋅ a<sup>−1</sup> = 1 eşitliğini sağlar.